实数与数轴

📌 一、实数与数轴

全体实数和数轴上的点一一对应：数轴上每个点对应唯一实数，每个实数对应数轴上唯一一点。
图中$x_0$、原点$O$、1为数轴标记，圆括号表示区间不含端点。

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📌 二、实数集区间表示

1. 基础区间对照表

名称	符号	取值范围	端点
开区间	$(a,b)$	$a<x<b$	不含$a,b$
闭区间	$[a,b]$	$a\le x\le b$	包含$a,b$
左闭右开	$[a,b)$	$a\le x<b$	含$a$，不含$b$
左开右闭	$(a,b]$	$a<x\le b$	不含$a$，含$b$

2. 邻域定义（$\delta>0$）

1. $x_0$的$\delta$邻域
   表达式：$(x_0-\delta,\ x_0+\delta)$
   等价不等式：$|x-x_0|<\delta$
   含义：以$x_0$为中心，半径$\delta$的开区间
2. $x_0$的去心$\delta$邻域
   表达式：$(x_0-\delta,x_0)\cup(x_0,x_0+\delta)$
   等价不等式：$0<|x-x_0|<\delta$
   含义：邻域内去掉中心点$x_0$

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💡 拓展无穷区间

• $(a,+\infty) \quad x>a$
• $[a,+\infty) \quad x\ge a$
• $(-\infty,b) \quad x<b$
• $(-\infty,b] \quad x\le b$
• $(-\infty,+\infty) \quad$ 全体实数$\mathbb{R}$

作用：邻域是微积分极限定义的基础工具，描述变量趋近定点的范围