有界集与上下确界

一、实数完备性公理（上确界公理）

公理原文

设数集 $D$ 有上界，则 $D$ 必定存在最小的上界，这个最小上界称为上确界，记作 $\displaystyle\sup_{x\in D} D$（简写 $\sup D$）。

上确界严格数学定义

设实数 $A$，则
$$
A = \sup_{x\in D} D \iff
\begin{cases}
1.\ \forall\, x \in D,\ x \le A \quad (A是D的一个上界)\
2.\ \forall\, \varepsilon > 0,\ \exists\, x_0 \in D,\ \text{s.t.}\ x_0 > A-\varepsilon \quad (A是最小上界)
\end{cases}
$$

1. 第一层条件：$A$ 能盖住集合里所有元素，满足上界基本要求；
2. 第二层条件：随便取一个极小正数 $\varepsilon$，把 $A$ 往下挪一小段 $A-\varepsilon$，集合里一定还有元素比它大，说明没有比 $A$ 更小的上界。

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二、推论（下确界存在定理）

推论原文

设数集 $D$ 有下界，则 $D$ 必定存在最大的下界，这个最大下界称为下确界，记作 $\displaystyle\inf_{x\in D} D$（简写 $\inf D$）。

下确界严格数学定义

设实数 $B$，则
$$
B = \inf_{x\in D} D \iff
\begin{cases}
1.\ \forall\, x \in D,\ x \ge B \quad (B是D的一个下界)\
2.\ \forall\, \varepsilon > 0,\ \exists\, x_0 \in D,\ \text{s.t.}\ x_0 < B+\varepsilon \quad (B是最大下界)
\end{cases}
$$

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三、专用符号注释

符号	英文全称	含义
$\forall$	for all	任意、对所有
$\exists$	exists	存在、有一个
$\text{s.t.}$	subject to	使得、满足
$\sup$	supremum	上确界（最小上界）
$\inf$	infimum	下确界（最大下界）
$\varepsilon$	epsilon	任意小的正数

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四、几何直观（对应黑板数轴图）

1. 数轴上集合 $D$ 分布在一段区间内，向上有边界约束 → 必有最高点边界 $\sup D$；
2. 向下有边界约束 → 必有最低点边界 $\inf D$；
3. 确界不一定属于集合本身：

• 例：集合 $D=(0,1)$，$\sup D=1,\ \inf D=0$，0、1都不在集合内；
• 例：集合 $D=[0,1]$，$\sup D=1,\ \inf D=0$，0、1都属于集合。

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五、基础前置概念（有界集）

1. 上界：$\exists M$，对全部 $x\in D$ 都有 $x\le M$，称 $M$ 是 $D$ 的上界；
2. 下界：$\exists m$，对全部 $x\in D$ 都有 $x\ge m$，称 $m$ 是 $D$ 的下界；
3. 有界集：集合同时存在上界与下界；只有上界=上方有界；只有下界=下方有界。